Calculo de valor numérico de la constante

Para calcular el valor de constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se va a integrar y algunos otros lados, procedimiento que ilustraremos en los siguientes ejemplos.

Determina la función: y = f(x), tal que F’(x) = 9x² – 6x + 1 cuando f(1) = 5.

Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1,5). Como y= f (x)  se tiene que:

dy/dx =df(x)/dx

Pero df(x) /dx= 9x²- 6x + 7

Entonces dy/dx = 9x²- 6x + 7

          dy = (9x²-6x+1) dx

Integrando=  ʃ dy = ʃ (9x² – 6x + 1)

                       9 ʃx² dx -6 ʃ x dx + ʃ dx

                        9x³/3 – 6x²/ 2+ x + C

                           y= 3x³ -3x² + x + C

Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 para f (1).

f (1) =3(1)³ – 3(1)² + 1 + C

= 3 -3 +1 +C

Condición que señala el problema:

f(1)=5

5= 1+ C

5-1 = C

C= 4

Al sustituir el valor de C:

y= f(x) = 3x³ -3x² +x + C

y= 3x³- 3x²+ x+4

Calculo Integral ( Antiderivada e Integral Indefinida).

Antiderivada

Definición: una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para toda x en I.

El proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivada o antidiferenciación. Usamos letras mayúsculas como F para representar una antiderivada de una función f, G para representar una antiderivada de una función g, y así sucesivamente.

La función F(x) = x²  no es la única función cuya derivada es 2x. La función x² +1 tiene la misma derivada. De esta manera, x² + C para cualquier constante C.

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada mas general de f en I es

F(x) + C

Donde C es una constante arbitraria.

1.-  f(x) = cosx  la antiderivada de esta función será 

 F(x)= senx   porque F(x)  resulta de la derivación de f(x).

2.- f(x) = 3x²

        F(x)= x²  (antiderivada)

Integral Indefinida

Definición: el conjunto de todas las antiderivadas de f es la integral indefinida de f con respecto a x, denotada mediante

   ∫ f (x)dx.

El símbolo  ∫ es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Donde f(x) es la derivada de la función desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así

∫ f(x)dx = F (x) +C,  A la constante C se le llama constante de integración.

por lo tanto en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de f(x) = 4 se escribe mediante una integral indefinida así:

 ∫ 4dx = 4x + C

Y la antiderivada de f (x) = 3x² se escribe

∫ 3x²dx = x³ +c

Reglas Básicas de la integración

1- INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

F(x)=K donde k es un número real ∫ kdx = kx + C

2- INTEGRAL DE UNA POTENCIA

 f(x) = xⁿ

∫ x ⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + C con n ≠ -1

Cuando el integrando es x elevado a algún exponente real se aumenta el exponente de x en 1, se divide en el nuevo exponente y se suma la constante de integración.

3- INTEGRAL DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR UNA POTENCIA

∫ kxⁿ dx = k ∫xⁿ dx = k  xⁿ⁺¹ / n+1  +C n ≠ -1

Las constantes salen de la integral y multiplican por las potencias.

4.- INTEGRAL DE UNA SUMA O RESTA DE FUNCIONES

 Se integra cada sumando es decir se distribuye el símbolo de la integral y se suma una sola constante C

∫ [ f (x) ± g (x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Ejemplos:

1.- ∫ x⁴ dx = ∫x⁴dx = x⁴⁺¹/ 4+1 =  x⁵/ 5 +C

2.- ∫-9dx = -9x + C

Integrantes del equipo 4: Jaqueline Téllez, Kelly Nahomi Avellaneda Peralta, Rubicela Sandoval Leyva, Ma. Concepción Gorrostieta Córdova.