Calculo Integral ( Antiderivada e Integral Indefinida).

Antiderivada

Definición: una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para toda x en I.

El proceso de recuperar una función F(x) a partir de su derivada f(x) se llama antiderivada o antidiferenciación. Usamos letras mayúsculas como F para representar una antiderivada de una función f, G para representar una antiderivada de una función g, y así sucesivamente.

La función F(x) = x²  no es la única función cuya derivada es 2x. La función x² +1 tiene la misma derivada. De esta manera, x² + C para cualquier constante C.

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada mas general de f en I es

F(x) + C

Donde C es una constante arbitraria.

1.-  f(x) = cosx  la antiderivada de esta función será 

 F(x)= senx   porque F(x)  resulta de la derivación de f(x).

2.- f(x) = 3x²

        F(x)= x²  (antiderivada)

Integral Indefinida

Definición: el conjunto de todas las antiderivadas de f es la integral indefinida de f con respecto a x, denotada mediante

   ∫ f (x)dx.

El símbolo  ∫ es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y x es la variable de integración.

Donde f(x) es la derivada de la función desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así

∫ f(x)dx = F (x) +C,  A la constante C se le llama constante de integración.

por lo tanto en los 2 ejemplos anteriores la antiderivada de f(x) = 4 se escribe mediante una integral indefinida así:

 ∫ 4dx = 4x + C

Y la antiderivada de f (x) = 3x² se escribe

∫ 3x²dx = x³ +c

Reglas Básicas de la integración

1- INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE

F(x)=K donde k es un número real ∫ kdx = kx + C

2- INTEGRAL DE UNA POTENCIA

 f(x) = xⁿ

∫ x ⁿ dx = xⁿ⁺¹ / n+1 + C con n ≠ -1

Cuando el integrando es x elevado a algún exponente real se aumenta el exponente de x en 1, se divide en el nuevo exponente y se suma la constante de integración.

3- INTEGRAL DE UNA CONSTANTE MULTIPLICADA POR UNA POTENCIA

∫ kxⁿ dx = k ∫xⁿ dx = k  xⁿ⁺¹ / n+1  +C n ≠ -1

Las constantes salen de la integral y multiplican por las potencias.

4.- INTEGRAL DE UNA SUMA O RESTA DE FUNCIONES

 Se integra cada sumando es decir se distribuye el símbolo de la integral y se suma una sola constante C

∫ [ f (x) ± g (x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Ejemplos:

1.- ∫ x⁴ dx = ∫x⁴dx = x⁴⁺¹/ 4+1 =  x⁵/ 5 +C

2.- ∫-9dx = -9x + C